Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Soustrayez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ((\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - ({\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.1.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = 0$

Étape 2.1.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) = 0$

Étape 2.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cos (x) \sin (x)) = 0$

Étape 2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (x) (2 \cos (x))) = 0$

Étape 2.1.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - (1 + \sin (2 x)) = 0$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $\cos (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 - \sin (2 x)$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $\sin (2 x)$ de $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) + 0 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $\cos (2 x)$ et $0$ .

$\cos (2 x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 1 = - 1$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 1 + 1$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1

Additionnez $- 2 \sin^{2} (x)$ et $2 \sin^{2} (x)$ .

$0 = - 1 + 1$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 = 0$

Étape 7

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$