Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $3 (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 5.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 3 - π$

Étape 5.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = 6 π - π$

Étape 5.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = 5 π$

Étape 6

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{3})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 6.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 7

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{3})$ est $6 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 6 π n, 5 π + 6 π n$ , pour tout entier $n$