Trigonométrie Exemples

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Étape 1.1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Étape 8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 9

Simplifiez $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

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Étape 9.1

Déplacez $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 9.6

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Étape 9.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$- u^{2} + u = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2} + u$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Étape 10.1.2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Étape 10.1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Étape 10.1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Étape 10.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

Étape 10.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

Étape 10.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 10.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 10.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 10.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 10.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.4

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Définissez $- \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Étape 10.4.2

Résolvez $- \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 1$

Étape 10.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 10.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 10.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 10.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 10.4.2.5

$x = 2 π - 0$

Étape 10.4.2.6

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 10.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

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Étape 11.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ vrai.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ , pour tout entier $n$