Trigonométrie Exemples

$\csc (x) - \cot (2 x) = \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \cot (2 x) = \tan (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \sin (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}) = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Associez $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ et $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{\sin (2 x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.5

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 8.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Soustrayez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Séparez les fractions.

$1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.2

Réécrivez $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.3

Écrivez $\cos (2 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - (\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{1}{2} (\cos (2 x) \sec (x))$ .

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Étape 10.5.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{2} \sec (x)) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.5.2

Associez $\frac{\cos (2 x)}{2}$ et $\sec (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.6

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 10.7

Séparez les fractions.

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Étape 10.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) = 0$

Étape 10.9

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x) \sec (x)}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \frac{\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11.1.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}}{2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 - (\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11.1.4

Multipliez $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cdot \cos (x)} - \sin (x) \tan (x) = 0$

Étape 11.1.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.7

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 11.1.7.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.7.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.7.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 12

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (1 - \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}) + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 14.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 14.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 15.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.1.3

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\cos (2 x)}{\cos (x) \cdot 2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.1.4

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 16

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 17

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{\cos (2 x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 18

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 19

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 19.1

Simplifiez $\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - (1 - \cos^{2} (x))$ .

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Étape 19.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (x) - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.2

Pour écrire $\cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 19.1.3.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{2} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cdot 2 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (2 x)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.4.3.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos (x) - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 19.1.5

Pour écrire $- \sin^{2} (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} - \sin^{2} (x) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 19.1.6

Simplifiez les termes.

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Étape 19.1.6.1

Associez $- \sin^{2} (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1}{2} + \frac{- \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Étape 19.1.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - \sin^{2} (x) \cdot 2}{2} = 0$

Étape 19.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2} = 0$

Étape 19.1.7.2

Déplacez $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (\cos^{2} (x)) - 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.6

Réorganisez les termes.

$\frac{2 \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x) - 2 \cdot 1 + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 2 + 1}{2} = 0$

Étape 19.1.7.9

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{2} = 0$

Étape 20

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 20.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 20.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 20.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 20.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 20.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 20.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 20.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 20.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 20.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 20.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 20.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 20.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 20.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 20.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 20.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 20.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 20.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 20.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 20.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 20.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 20.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 20.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 20.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 20.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 20.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$