Trigonométrie Exemples

$\csc (x) - 1 = \frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1}$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{\cot^{2} (x)}{\csc (x) + 1} + 1 = \csc (x)$

Étape 2

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 1 = \csc (x)$

Étape 3

Associez les termes opposés dans $\csc^{2} (x) - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\csc^{2} (x) + 0 = \csc (x)$

Étape 3.2

Additionnez $\csc^{2} (x)$ et $0$ .

$\csc^{2} (x) = \csc (x)$

Étape 4

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} = u$

Étape 5

Soustrayez $u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - u = 0$

Étape 6

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} - u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u - u = 0$

Étape 6.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

Étape 6.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot - 1$ .

$u (u - 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 8

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 9

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 0, 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 0, 1$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc (x) = 1$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

La valeur exacte de $arccsc (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 14.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 14.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 14.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 14.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 14.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$