Trigonométrie Exemples

$\csc (x) \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\csc (x) \cdot \sec (x)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) = \cot (x) + \tan (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \cot (x) + \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) (\cos (x))} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 7.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Soustrayez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 9

Simplifiez $\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \cos (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 9.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} = 0$

Étape 9.3.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$- \cos (x) + \cos (x) = 0$

Étape 9.4

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Étape 10

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$