Trigonométrie Exemples

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)}$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cot (x)$ et $b = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.1.3.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)}$

Étape 2.1.1.3.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \cot (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.1.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.5

Développez $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.1.6.1.1.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.2

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 1 \cdot \cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.5

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 0 - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.6.3

Additionnez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ et $0$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.7.2

Associez.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.7.3

Réécrivez $- 1 \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ comme $- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos^{2} (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\sin^{2} (x) (2 \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.1.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) (2 \cos (x))$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}{\cos (x) (\sin^{2} (x) \cdot (2))} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.2

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.8.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot (2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cdot (2)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) (\sin (x) \cdot 2)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cdot 2} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 2.1.8.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Étape 6

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)})$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.1.2

Associez les exposants.

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Étape 8.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{2 \sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.3.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.4

Associez $\frac{\sin (x)}{2 \cos (x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.5.2

Associez les exposants.

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Étape 8.5.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.5.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 8.6.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.7.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.7.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 9

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Étape 10

Déplacez tous les termes contenant $\cos (2 x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $\cos (2 x)$ de $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Étape 11

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$