Trigonométrie Exemples

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2} = \cos (2 x)$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos^{2} (x)$ et $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.3

Réorganisez les termes.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.5

Multipliez $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.6

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x) = \cos (2 x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $\cos (2 x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) - \cos (2 x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\cos (2 x)$ de $\cos (2 x)$ .

$0 = 0$

Étape 3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$