Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1 - \sin (y), 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1 - \sin (y), 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$1 - \sin (y)$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ par $1 - \sin (y)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ par $1 - \sin (y)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (y)$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (1 - \sin (y))$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 = x + x (- \sin (y))$

Étape 2.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = x - x \sin (y)$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $x - x \sin (y) = 1$ .

$x - x \sin (y) = 1$

Étape 2.4.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- x \sin (y) = 1 - x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $- x \sin (y) = 1 - x$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \sin (y) = 1 - x$ par $- x$ .

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.2.2.2

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.4.3.3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 2.4.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 2.4.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 2.4.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

Étape 2.5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $1 - \sin (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

Étape 4.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

Étape 4.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $- - \sin (x)$ .

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Étape 4.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

Étape 4.2.3.5.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $- 1 + \sin (x) + 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- - \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

Étape 4.3.3.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 4.3.3.6

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

Étape 4.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$