Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ comme une équation.

$y = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $20 e^{y} + 15$ .

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $20 e^{y} + 15$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{y} - 8}{20 e^{y} + 15} (20 e^{y} + 15) = x (20 e^{y} + 15)$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y} + 15)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $x (20 e^{y} + 15)$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{y} - 8 = x (20 e^{y}) + x \cdot 15$

Étape 3.3.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + x \cdot 15$

Étape 3.3.2.1.2.2

Déplacez $15$ à gauche de $x$ .

$3 e^{y} - 8 = 20 x e^{y} + 15 x$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $20 x e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$3 e^{y} - 8 - 20 x e^{y} = 15 x$

Étape 3.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 e^{y} - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Étape 3.4.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $3 e^{y} - 20 x e^{y}$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de $3 e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 - 20 x e^{y} = 15 x + 8$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $e^{y}$ à partir de $- 20 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x) = 15 x + 8$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $e^{y}$ à partir de $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 20 x)$ .

$e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ par $3 - 20 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} (3 - 20 x) = 15 x + 8$ par $3 - 20 x$ .

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 - 20 x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} (3 - 20 x)}{3 - 20 x} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{15 x}{3 - 20 x} + \frac{8}{3 - 20 x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{y} = \frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$

Étape 3.4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Étape 3.4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.6.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Étape 3.4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Étape 3.4.6.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Étape 5.2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{x} + 15$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}})$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{x} + 15$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 15}})$

Étape 5.2.3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x}) + 5 (3)}})$

Étape 5.2.3.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (4 e^{x}) + 5 (3)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{15 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 (3) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{5 \cdot (3 (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{3 (\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}) + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.2

Associez $3$ et $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + 8}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3} + \frac{8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{3 (3 e^{x} - 8) + 8 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6

Réécrivez $\frac{8 (4 e^{x} + 3) + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{8 (4 e^{x}) + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 8 \cdot 3 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.3

Multipliez $8$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 3 (3 e^{x}) + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} + 3 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.6

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{32 e^{x} + 24 + 9 e^{x} - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.7

Additionnez $32 e^{x}$ et $9 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 24 - 24}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.8

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x} + 0}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.4.6.9

Additionnez $41 e^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 20 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)}})$

Étape 5.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 (- 4) (\frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Étape 5.2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + 5 \cdot (- 4 \frac{3 e^{x} - 8}{5 (4 e^{x} + 3)})})$

Étape 5.2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - 4 \frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.2

Associez $- 4$ et $\frac{3 e^{x} - 8}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 + \frac{- 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{3 - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.4

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 e^{x} + 3}{4 e^{x} + 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3)}{4 e^{x} + 3} - \frac{4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6

Réécrivez $\frac{3 (4 e^{x} + 3) - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{3 (4 e^{x}) + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 3 \cdot 3 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x} - 8)}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 4 (3 e^{x}) - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} - 4 \cdot - 8}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.6

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{12 e^{x} + 9 - 12 e^{x} + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.7

Soustrayez $12 e^{x}$ de $12 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{0 + 9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.8

Additionnez $0$ et $9$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{9 + 32}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.5.6.9

Additionnez $9$ et $32$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3}}{\frac{41}{4 e^{x} + 3}})$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $41$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $41$ à partir de $41 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 (e^{x})}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{41 e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot \frac{4 e^{x} + 3}{41})$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $4 e^{x} + 3$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (\frac{e^{x}}{4 e^{x} + 3} \cdot (4 e^{x} + 3))$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.9

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \ln (e)$

Étape 5.2.10

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x \cdot 1$

Étape 5.2.11

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{3 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.2

Associez $3$ et $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.3

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} - 8 \cdot \frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.4

Associez $- 8$ et $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{- 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{3 - 20 x}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7

Réécrivez $\frac{3 (15 x + 8) - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{3 (15 x) + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 3 \cdot 8 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 8 \cdot 3 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.5

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 - 8 (- 20 x)}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.6

Multipliez $- 20$ par $- 8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{45 x + 24 - 24 + 160 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.7

Additionnez $45 x$ et $160 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 24 - 24}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.8

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x + 0}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.3.7.9

Additionnez $205 x$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 15$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $20 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 15}$

Étape 5.3.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)}$

Étape 5.3.4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})}) + 5 (3)$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 e^{\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})} + 3)}$

Étape 5.3.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (4 (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}) + 3)}$

Étape 5.3.4.3

Associez $4$ et $\frac{15 x + 8}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + 3)}$

Étape 5.3.4.4

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 20 x}{3 - 20 x}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8)}{3 - 20 x} + \frac{3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Étape 5.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{3 - 20 x})}$

Étape 5.3.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7

Réécrivez $\frac{4 (15 x + 8) + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{4 (15 x) + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.2

Multipliez $15$ par $4$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 4 \cdot 8 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 (3 - 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 3 \cdot 3 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 + 3 (- 20 x)}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.6

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{60 x + 32 + 9 - 60 x}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.7

Soustrayez $60 x$ de $60 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{0 + 32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.8

Additionnez $0$ et $32$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{32 + 9}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.4.7.9

Additionnez $32$ et $9$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{5 (\frac{41}{- 20 x + 3})}$

Étape 5.3.5

Associez les fractions.

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Étape 5.3.5.1

Associez $5$ et $\frac{41}{- 20 x + 3}$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{5 \cdot 41}{- 20 x + 3}}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $5$ par $41$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{\frac{205 x}{- 20 x + 3}}{\frac{205}{- 20 x + 3}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $205$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $205$ à partir de $205 x$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 (x)}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{205 x}{- 20 x + 3} \cdot \frac{- 20 x + 3}{205}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x}{- 20 x + 3} \cdot (- 20 x + 3)$

Étape 5.3.8

Multipliez $\frac{x}{- 20 x + 3}$ par $- 20 x + 3$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $- 20 x + 3$ .

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Étape 5.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = \frac{x (- 20 x + 3)}{- 20 x + 3}$

Étape 5.3.9.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 e^{x} - 8}{20 e^{x} + 15}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{15 x + 8}{3 - 20 x})$