Trigonométrie Exemples

$\sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52 = x$ .

$\sqrt{5 y^{2}} - 10 y + 52 = x$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{5 y^{2}}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Ajoutez $10 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{5 y^{2}} + 52 = x + 10 y$

Étape 2.2.2

Soustrayez $52$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{5 y^{2}} = x + 10 y - 52$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{5 y^{2}}}^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 y^{2}}$ comme ${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 y^{2})}^{1} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$5 y^{2} = {(x + 10 y - 52)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 10 y - 52)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 10 y - 52)}^{2}$ comme $(x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$ .

$5 y^{2} = (x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$

Étape 2.4.3.1.2

Développez $(x + 10 y - 52) (x + 10 y - 52)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$5 y^{2} = x \cdot x + x (10 y) + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + x (10 y) + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y + x \cdot - 52 + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.3

Déplacez $- 52$ à gauche de $x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 \cdot x + 10 y x + 10 y (10 y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 y \cdot y + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1.3.5.1

Déplacez $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 (y \cdot y) + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 10 \cdot 10 y^{2} + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.6

Multipliez $10$ par $10$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} + 10 y \cdot - 52 - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.7

Multipliez $- 52$ par $10$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 52 (10 y) - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.8

Multipliez $10$ par $- 52$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y - 52 \cdot - 52$

Étape 2.4.3.1.3.9

Multipliez $- 52$ par $- 52$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y - 52 x + 10 y x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Étape 2.4.3.1.4

Additionnez $10 x y$ et $10 y x$ .

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Étape 2.4.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 10 x y + 10 x y - 52 x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Étape 2.4.3.1.4.2

Additionnez $10 x y$ et $10 x y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 52 x + 100 y^{2} - 520 y - 52 x - 520 y + 2704$

Étape 2.4.3.1.5

Soustrayez $52 x$ de $- 52 x$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 520 y - 520 y + 2704$

Étape 2.4.3.1.6

Soustrayez $520 y$ de $- 520 y$ .

$5 y^{2} = x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704 = 5 y^{2}$

Étape 2.5.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $5 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 100 y^{2} - 1040 y + 2704 - 5 y^{2} = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $5 y^{2}$ de $100 y^{2}$ .

$x^{2} + 20 x y - 104 x + 95 y^{2} - 1040 y + 2704 = 0$

Étape 2.5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.4

Remplacez les valeurs $a = 95$ , $b = 20 x - 1040$ et $c = x^{2} - 104 x + 2704$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (20 x - 1040) \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5

Laissez $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Remplacez toutes les occurrences de $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ par $u$ .

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Étape 2.5.5.1.5.1

Réécrivez ${(20 x - 1040)}^{2}$ comme $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.2

Développez $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.5.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.5.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.5.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.3

Multipliez $20$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.4

Multipliez $- 1040$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.5

Multipliez $20$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.1.6

Multipliez $- 1040$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.5.3.2

Soustrayez $20800 x$ de $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ .

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Étape 2.5.5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 41600 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $1081600$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.2

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1.8.1.2.1

Multipliez $- 104$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.2.2

Multipliez $95$ par $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.4

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1.8.1.4.1

Multipliez $95$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.4.2

Multipliez $- 9880$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.2

Soustrayez $95 x^{2}$ de $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.3

Additionnez $- 10400 x$ et $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.8.4

Soustrayez $256880$ de $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.9

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 520 x + 13520$ .

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Étape 2.5.5.1.9.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.9.2

Factorisez $5$ à partir de $- 520 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.9.3

Factorisez $5$ à partir de $13520$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.9.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.9.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.5.5.1.10.1

Réécrivez $2704$ comme $52^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Étape 2.5.5.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.11

Multipliez $4$ par $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.12

Réécrivez $20 {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.5.5.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.12.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.12.3

Déplacez $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.12.4

Réécrivez $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.15

Multipliez $2$ par $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $2$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5

Laissez $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Remplacez toutes les occurrences de $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ par $u$ .

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Étape 2.5.6.1.5.1

Réécrivez ${(20 x - 1040)}^{2}$ comme $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.2

Développez $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.3

Multipliez $20$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.4

Multipliez $- 1040$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.5

Multipliez $20$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.1.6

Multipliez $- 1040$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.5.3.2

Soustrayez $20800 x$ de $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ .

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Étape 2.5.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 41600 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $1081600$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.6.1.8.1.2.1

Multipliez $- 104$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.2.2

Multipliez $95$ par $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.4

Simplifiez

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Étape 2.5.6.1.8.1.4.1

Multipliez $95$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.4.2

Multipliez $- 9880$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.2

Soustrayez $95 x^{2}$ de $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.3

Additionnez $- 10400 x$ et $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.8.4

Soustrayez $256880$ de $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.9

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 520 x + 13520$ .

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Étape 2.5.6.1.9.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.9.2

Factorisez $5$ à partir de $- 520 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.9.3

Factorisez $5$ à partir de $13520$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.9.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.9.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.5.6.1.10.1

Réécrivez $2704$ comme $52^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Étape 2.5.6.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.11

Multipliez $4$ par $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.12

Réécrivez $20 {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.5.6.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.12.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.12.3

Déplacez $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.12.4

Réécrivez $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.15

Multipliez $2$ par $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $2$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Étape 2.5.6.4

Annulez le facteur commun à $- 20 x + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}$ et $190$ .

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Étape 2.5.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x$ .

$y = \frac{2 (- 10 x) + 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Étape 2.5.6.4.2

Factorisez $2$ à partir de $1040$ .

$y = \frac{2 (- 10 x) + 2 \cdot 520 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Étape 2.5.6.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 10 x) + 2 (520)$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5}}{190}$

Étape 2.5.6.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x \sqrt{5}$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5}) - 104 \sqrt{5}}{190}$

Étape 2.5.6.4.5

Factorisez $2$ à partir de $- 104 \sqrt{5}$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5}) + 2 (- 52 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.6.4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x \sqrt{5}) + 2 (- 52 \sqrt{5})$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.6.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 10 x + 520) + 2 (x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.6.4.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.6.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $190$ .

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{2 (95)}$

Étape 2.5.6.4.8.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.6.4.8.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 10 x + 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 2.5.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 2.5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (20 x) + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(20 x - 1040)}^{2} - 4 \cdot (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5

Laissez $u = 95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ . Remplacez toutes les occurrences de $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ par $u$ .

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Étape 2.5.7.1.5.1

Réécrivez ${(20 x - 1040)}^{2}$ comme $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{(20 x - 1040) (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.2

Développez $(20 x - 1040) (20 x - 1040)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.7.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x - 1040) - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x - 1040) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 x (20 x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x \cdot x) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (x \cdot x)) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 \cdot (20 x^{2}) + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.3

Multipliez $20$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} + 20 x \cdot - 1040 - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.4

Multipliez $- 1040$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 1040 (20 x) - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.5

Multipliez $20$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x - 1040 \cdot - 1040 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.1.6

Multipliez $- 1040$ par $- 1040$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 20800 x - 20800 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.5.3.2

Soustrayez $20800 x$ de $- 20800 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2} - 41600 x + 1081600 - 4 u$ .

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Étape 2.5.7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $400 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) - 41600 x + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 41600 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 1081600 - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $1081600$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) - 4 u}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2}) + 4 (- 10400 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x) + 4 (270400)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - u)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 \cdot (x^{2} - 104 x + 2704)))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.7.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} + 95 (- 104 x) + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.7.1.8.1.2.1

Multipliez $- 104$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 95 \cdot 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.2.2

Multipliez $95$ par $2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2} - 9880 x + 256880))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - (95 x^{2}) - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.4

Simplifiez

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Étape 2.5.7.1.8.1.4.1

Multipliez $95$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} - (- 9880 x) - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.4.2

Multipliez $- 9880$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 1 \cdot 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $256880$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (100 x^{2} - 10400 x + 270400 - 95 x^{2} + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.2

Soustrayez $95 x^{2}$ de $100 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 10400 x + 270400 + 9880 x - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.3

Additionnez $- 10400 x$ et $9880 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 270400 - 256880)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.8.4

Soustrayez $256880$ de $270400$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.9

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 520 x + 13520$ .

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Étape 2.5.7.1.9.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) - 520 x + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.9.2

Factorisez $5$ à partir de $- 520 x$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2}) + 5 (- 104 x) + 13520)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.9.3

Factorisez $5$ à partir de $13520$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 x^{2} + 5 (- 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.9.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (- 104 x)$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704)}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.9.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 104 x) + 5 \cdot 2704$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 2704))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.5.7.1.10.1

Réécrivez $2704$ comme $52^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 104 x + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$104 x = 2 \cdot x \cdot 52$

Étape 2.5.7.1.10.3

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 52 + 52^{2}))}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.11

Multipliez $4$ par $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{20 {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.12

Réécrivez $20 {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.5.7.1.12.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{4 (5) {(x - 52)}^{2}}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.12.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 {(x - 52)}^{2})}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.12.3

Déplacez $5$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{2^{2} {(x - 52)}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.12.4

Réécrivez $2^{2} {(x - 52)}^{2}$ comme ${(2 (x - 52))}^{2}$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm \sqrt{{(2 (x - 52))}^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm 2 (x - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x + 2 \cdot - 52) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.15

Multipliez $2$ par $- 52$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x - 104) \sqrt{5}}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.2

Multipliez $2$ par $95$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 \pm (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 20 x + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4

Annulez le facteur commun à $- 20 x + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ et $190$ .

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Étape 2.5.7.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 x$ .

$y = \frac{- (20 x) + 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4.2

Réécrivez $1040$ comme $- 1 (- 1040)$ .

$y = \frac{- (20 x) - 1 \cdot - 1040 - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (20 x) - 1 (- 1040)$ .

$y = \frac{- (20 x - 1040) - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (20 x - 1040) - (2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ .

$y = \frac{- (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4.5

Réécrivez $- (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ comme $- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ .

$y = \frac{- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})}{190}$

Étape 2.5.7.4.6

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (20 x - 1040 + 2 x \sqrt{5} - 104 \sqrt{5})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{190}$

Étape 2.5.7.4.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.7.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $190$ .

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{2 (95)}$

Étape 2.5.7.4.7.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5}))}{2 \cdot 95}$

Étape 2.5.7.4.7.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 (10 x - 520 + x \sqrt{5} - 52 \sqrt{5})}{95}$

Étape 2.5.7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 1 (x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5})}{95}$

Étape 2.5.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 2.5.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

$y = - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ et $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ est le domaine de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{5 x^{2}} - 10 x + 52$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{5} - 10 x + 520 - 52 \sqrt{5}}{95}, - \frac{x \sqrt{5} + 10 x - 520 - 52 \sqrt{5}}{95}$

Étape 5