Trigonométrie Exemples

$\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (x) = 0$

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 2.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3

Définissez $3 \cot^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 \cot^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 \cot^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \cot^{2} (x) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \cot^{2} (x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \cot^{2} (x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\cot^{2} (x)$ par $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.7

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 3.2.7.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.1

La valeur exacte de $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 3.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 3.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 3.2.7.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 3.2.7.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.8

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 3.2.8.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.8.2.1

La valeur exacte de $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.8.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Étape 3.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.8.4.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Étape 3.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{3}$ est positif et coterminal avec $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.8.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.8.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.8.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.10

Consolidez les solutions.

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Étape 3.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.10.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{5 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\csc (x) (3 \cot^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$