Trigonométrie Exemples

$4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 u^{2}$ comme ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 u$ et $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 9

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$