Trigonométrie Exemples

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - 2 \frac{4}{5} = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - 2 \frac{4}{5}$ .

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Étape 1.1.1

Convertissez $2 \frac{4}{5}$ en fraction irrégulière.

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Étape 1.1.1.1

Un nombre mixte est une addition des ses parties entière et fractionnaire.

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - (2 + \frac{4}{5}) = 0$

Étape 1.1.1.2

Additionnez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - (2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}) = 0$

Étape 1.1.1.2.2

Associez $2$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - (\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5}) = 0$

Étape 1.1.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = 0$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - \frac{10 + 4}{5} = 0$

Étape 1.1.1.2.4.2

Additionnez $10$ et $4$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} \cdot 1 + \frac{2}{5 x} - \frac{14}{5} = 0$

Étape 1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} + \frac{2}{5 x} - \frac{14}{5} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 x^{2}, 5 x, 5, 1$

Étape 2.2

Since $5 x^{2}, 5 x, 5, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $5, 5, 5, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 2.7

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 2.10

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun pour $5 x^{2}, 5 x, 5, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{41}{5 x^{2}} + \frac{2}{5 x} - \frac{14}{5} = 0$ par $5 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{41}{5 x^{2}} + \frac{2}{5 x} - \frac{14}{5} = 0$ par $5 x^{2}$ .

$- \frac{41}{5 x^{2}} (5 x^{2}) + \frac{2}{5 x} (5 x^{2}) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5 x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{41}{5 x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 41}{5 x^{2}} (5 x^{2}) + \frac{2}{5 x} (5 x^{2}) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 41}{5 x^{2}} (5 x^{2}) + \frac{2}{5 x} (5 x^{2}) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 41 + \frac{2}{5 x} (5 x^{2}) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 41 + 5 \frac{2}{5 x} x^{2} - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$- 41 + 5 \frac{2}{5 (x)} x^{2} - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 41 + 5 \frac{2}{5 x} x^{2} - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 41 + \frac{2}{x} x^{2} - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- 41 + \frac{2}{x} (x \cdot x) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 41 + \frac{2}{x} (x \cdot x) - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 41 + 2 x - \frac{14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{14}{5}$ dans le numérateur.

$- 41 + 2 x + \frac{- 14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$- 41 + 2 x + \frac{- 14}{5} (5 (x^{2})) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$- 41 + 2 x + \frac{- 14}{5} (5 x^{2}) = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 41 + 2 x - 14 x^{2} = 0 (5 x^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{2})$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$- 41 + 2 x - 14 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$- 41 + 2 x - 14 x^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = - 14$ , $b = 2$ et $c = - 41$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 14 \cdot - 41)}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 14 \cdot - 41}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 14 \cdot - 41$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 14$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 56 \cdot - 41}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $56$ par $- 41$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 2296}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $2296$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 2292}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 2292$ comme $- 1 (2292)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2292}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2292)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2292}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2292}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2292}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $2292$ comme $2^{2} \cdot 573$ .

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Étape 4.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $2292$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (573)}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 573}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{573})}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{573}}{2 \cdot - 14}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{573}}{- 28}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{573}}{- 28}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{573}}{14}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{573}}{14}, \frac{1 - i \sqrt{573}}{14}$