Trigonométrie Exemples

$\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$

Étape 1

Si $a = b$ , alors $\cos (a) = \cos (b)$ .

$\cos (\arccos (x) + \arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x \cos (\arccos (2 x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.2

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x (2 x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.5

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (2 x)) = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.8

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (2 x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (2 x))$ est $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 3

Développez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x) (1 + x) (1 - x)} = \frac{1}{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\arccos (x) + \arccos (2 x) = \frac{π}{3}$ vrai.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.5$