Trigonométrie Exemples

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin (4 x)$ des deux côtés de l’équation.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

Étape 2.1.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Étape 2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Étape 2.1.7

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.7.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.7.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.11

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.12

Supprimez les parenthèses.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4 \sin (x) \cos (x)$ de $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $1 + 2 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $1 + 2 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 7.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.7.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.8.2

Le sinus inverse de $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.9

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$