Trigonométrie Exemples

$\sec (x) (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez $\sec (x) (\sec (x) - \cos (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} (\sec (x) - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.5.3.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Étape 1.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (x) = \tan^{2} (x)$

Étape 2

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| \tan (x) | = | \tan (x) |$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

$- \tan (x) = \tan (x)$

$- \tan (x) = - \tan (x)$

Étape 3.2

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$\tan (x) = \tan (x)$

$\tan (x) = - \tan (x)$

Étape 3.3

Résolvez $\tan (x) = \tan (x)$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$x = x$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - x = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Étape 3.3.3

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Tous les nombres réels

Étape 3.4

Résolvez $\tan (x) = - \tan (x)$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $\tan (x)$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Ajoutez $\tan (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) + \tan (x) = 0$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $\tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) = 0$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \tan (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 3.4.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 3.4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 3.4.6

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 3.4.7

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.4.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.4.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$