Trigonométrie Exemples

$4 \sin (x) + 5 = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = 3 - 5$

Étape 1.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$4 \sin (x) = - 2$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 2$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = - 2$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\sin (x) = \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.3

Associez les fractions.

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Étape 8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$