Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Étape 1

Simplifiez $\frac{\tan^{2} (x) - 1}{2} - \sec (x) + \sqrt{2}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1^{2}}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = 1$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $- \sec (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} - \sec (x) \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez $- \sec (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}{2} + \frac{- \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1

Développez $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1) - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 1.4.2.1.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.4

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 0 - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $\tan^{2} (x)$ et $0$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - \sec (x) \cdot 2}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) - 1 - 2 \sec (x)}{2} + \sqrt{2} = 0$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3