Trigonométrie Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Étape 1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 33 x^{2}$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $60 x$ .

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

Étape 1.4

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Étape 1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

Étape 1.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

Étape 1.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ .

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

Étape 2

Factorisez $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Étape 2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Étape 2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

Étape 2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

Étape 2.3.5

Soustrayez $11$ de $- 1$ .

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

Étape 2.3.6

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$- 12 - 20 + 32$

Étape 2.3.7

Soustrayez $20$ de $- 12$ .

$- 32 + 32$

Étape 2.3.8

Additionnez $- 32$ et $32$ .

$0$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

Étape 2.5

Divisez $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

Étape 2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

Étape 2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Étape 2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

Étape 2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

Étape 2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Étape 2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

Étape 2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

Étape 2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 x + 32$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

Étape 2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

Étape 2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 12 x + 32$

Étape 2.6

Écrivez $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

Étape 3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$