Trigonométrie Exemples

$\csc (x) > 0$ , $\cot (x) < 0$

Étape 1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2

Résolvez $\cot (x) < 0$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x < arccot (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x < \frac{π}{2}$

Étape 2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Déterminez le domaine de $\cot (x)$ .

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Étape 2.8.1

Définissez l’argument dans $\cot (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (1) < 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $0.64209261$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (2) < 0$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $- 0.45765755$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (4) < 0$

Étape 2.10.3.3

Le côté gauche $0.86369115$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < π$ Vrai

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Faux

$0 < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < π$ Vrai

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Faux

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Find the intersection of No solution and $\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ .

Aucune solution