Trigonométrie Exemples

$y = 3 x^{2} - 4 x - 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $3 x^{2} - 4 x - 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = - 4$

$c = - 3$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{3}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{2}{3}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = - 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 3$ .

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (3)}$

Étape 1.1.1.4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 3 - \frac{4}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e = - 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 3 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$e = \frac{- 9 - 4}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $4$ de $- 9$ .

$e = \frac{- 13}{3}$

Étape 1.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{13}{3}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$ .

$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{13}{3}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 3$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - \frac{13}{3}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{53}{12}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

Foyer : $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

Axe de symétrie : $x = \frac{2}{3}$

Directrice : $y = - \frac{53}{12}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

Foyer : $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

Axe de symétrie : $x = \frac{2}{3}$

Directrice : $y = - \frac{53}{12}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 3$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 3$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (0) = - 3$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 3$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 3$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- 1) = 3 - 4 \cdot - 1 - 3$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 3 + 4 - 3$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $3$ et $4$ .

$f (- 1) = 7 - 3$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$f (- 1) = 4$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $4$ .

$y = 4$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 3$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 3$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (2) = 12 - 4 \cdot 2 - 3$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (2) = 12 - 8 - 3$

Étape 2.8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $8$ de $12$ .

$f (2) = 4 - 3$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (2) = 1$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 3$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 2.11.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 3$

Étape 2.11.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 4 \cdot 3 - 3$

Étape 2.11.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 4 \cdot 3 - 3$

Étape 2.11.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27 - 4 \cdot 3 - 3$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (3) = 27 - 12 - 3$

Étape 2.11.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f (3) = 15 - 3$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $3$ de $15$ .

$f (3) = 12$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $12$ .

$y = 12$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 3 \\ \frac{2}{3} & - \frac{13}{3} \\ 2 & 1 \\ 3 & 12 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{2}{3}, - \frac{13}{3})$

Foyer : $(\frac{2}{3}, - \frac{17}{4})$

Axe de symétrie : $x = \frac{2}{3}$

Directrice : $y = - \frac{53}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 4 \\ 0 & - 3 \\ \frac{2}{3} & - \frac{13}{3} \\ 2 & 1 \\ 3 & 12 \end{array}$

Étape 4