Trigonométrie Exemples

$y = \frac{2}{5} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{2}{5}$

$h = 4$

$k = - 3$

Étape 1.2

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Étape 1.4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{5}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez

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Étape 1.4.3.1

Associez $4$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{5}}$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{5}}$

Étape 1.4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{5}{8})$

Étape 1.4.3.4

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $1$ .

$\frac{5}{8}$

Étape 1.5

Déterminez le foyer.

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Étape 1.5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - \frac{19}{8})$

Étape 1.6

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 4$

Étape 1.7

Déterminez la directrice.

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Étape 1.7.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{29}{8}$

Étape 1.8

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 3)$

Foyer : $(4, - \frac{19}{8})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{29}{8}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 3)$

Foyer : $(4, - \frac{19}{8})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{29}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2}}{5} - \frac{16 (3)}{5} + \frac{17}{5}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (3) = \frac{18 - 16 \cdot 3 + 17}{5}$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$f (3) = \frac{18 - 48 + 17}{5}$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $48$ de $18$ .

$f (3) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $- 30$ et $17$ .

$f (3) = \frac{- 13}{5}$

Étape 2.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3) = - \frac{13}{5}$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2}}{5} - \frac{16 (2)}{5} + \frac{17}{5}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Étape 2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ .

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Étape 2.5.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = \frac{2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Étape 2.5.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2) = \frac{2^{3} - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Étape 2.5.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 16 \cdot 2 + 17}{5}$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$f (2) = \frac{8 - 32 + 17}{5}$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Soustrayez $32$ de $8$ .

$f (2) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 24$ et $17$ .

$f (2) = \frac{- 7}{5}$

Étape 2.5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{7}{5}$

Étape 2.5.4

La réponse finale est $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2}}{5} - \frac{16 (5)}{5} + \frac{17}{5}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5) = \frac{2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Étape 2.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \frac{2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$f (5) = \frac{50 - 16 \cdot 5 + 17}{5}$

Étape 2.8.2.3

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$f (5) = \frac{50 - 80 + 17}{5}$

Étape 2.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.3.1

Soustrayez $80$ de $50$ .

$f (5) = \frac{- 30 + 17}{5}$

Étape 2.8.3.2

Additionnez $- 30$ et $17$ .

$f (5) = \frac{- 13}{5}$

Étape 2.8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (5) = - \frac{13}{5}$

Étape 2.8.4

La réponse finale est $- \frac{13}{5}$ .

$- \frac{13}{5}$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $- \frac{13}{5}$ .

$y = - \frac{13}{5}$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2}}{5} - \frac{16 (6)}{5} + \frac{17}{5}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$f (6) = \frac{72 - 16 \cdot 6 + 17}{5}$

Étape 2.11.2.3

Multipliez $- 16$ par $6$ .

$f (6) = \frac{72 - 96 + 17}{5}$

Étape 2.11.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.3.1

Soustrayez $96$ de $72$ .

$f (6) = \frac{- 24 + 17}{5}$

Étape 2.11.3.2

Additionnez $- 24$ et $17$ .

$f (6) = \frac{- 7}{5}$

Étape 2.11.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (6) = - \frac{7}{5}$

Étape 2.11.4

La réponse finale est $- \frac{7}{5}$ .

$- \frac{7}{5}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $- \frac{7}{5}$ .

$y = - \frac{7}{5}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 3)$

Foyer : $(4, - \frac{19}{8})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{29}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - \frac{7}{5} \\ 3 & - \frac{13}{5} \\ 4 & - 3 \\ 5 & - \frac{13}{5} \\ 6 & - \frac{7}{5} \end{array}$

Étape 4