Trigonométrie Exemples

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (2 x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{5}{2}$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{5}{2}$

Étape 3

Déterminez la période de $\frac{5 \sin (2 x + \frac{π}{2})}{2}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

Déphasage : $- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Déphasage : $- \frac{π}{4}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{5}{2}$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{- π}{4}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{- π}{2 (2)}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 2}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{- π}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + π}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.3

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

Étape 6.1.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.1.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{5 \sin (2 (0) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (0 + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (0) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (0) = \frac{5}{2}$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{π}{4}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{π + π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (π)}{2}$

Étape 6.3.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

Étape 6.3.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{π}{2}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{π}{2}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (π + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Étape 6.4.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Étape 6.4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 5}{2}$

Étape 6.4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{5}{2}$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π + π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.3

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{4 π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{2}$

Étape 6.5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (\frac{2 π}{1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (2 π)}{2}$

Étape 6.5.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

Étape 6.5.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{2} & - \frac{5}{2} \\ \frac{3 π}{4} & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{5}{2}$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{2} & - \frac{5}{2} \\ \frac{3 π}{4} & 0 \end{array}$

Étape 8