Trigonométrie Exemples

$y = 3 \cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 3$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période de $3 \cos (\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{2}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Étape 3.3

$\frac{2}{3}$ est d’environ $0.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$π \cdot 3$

Étape 3.6

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

Déphasage : $\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Déphasage : $\frac{π \cdot 3}{4}$

Étape 4.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

Déphasage : $\frac{3 π}{4}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $3 π$

Déphasage : $\frac{3 π}{4}$ ( $\frac{3 π}{4}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.3

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{π - π}{2})$

Étape 6.1.2.2.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{0}{2})$

Étape 6.1.2.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cdot 1$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3.2

Divisez $3 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Étape 6.2.2.4.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 6.2.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.3

Réduisez l’expression $\frac{18 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Étape 6.3.2.2.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 6.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 6.3.2.2.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cos (π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 3 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 3$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{2 (3 π)}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{2 (3 π)}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $2 (π)$ par $1$ .

$f (3 π) = 3 \cos (2 (π) - \frac{π}{2})$

$f (3 π) = 3 \cos (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (3 π) = 3 \cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{4 π - π}{2})$

Étape 6.4.2.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (3 π) = 3 \cdot 0$

Étape 6.4.2.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (3 π) = 0$

Étape 6.4.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{15 π}{4}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{15 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (\frac{15 π}{4})}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{15 π}{4}$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{30 π}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.3

Réduisez l’expression $\frac{30 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $30 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{4}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{2 (2)}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{2 \cdot 2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{\frac{15 π}{2}}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{15 π}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $15 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 (5 π)}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 (5 π)}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π - π}{2})$

Étape 6.5.2.2.2

Soustrayez $π$ de $5 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{4 π}{2})$

Étape 6.5.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})$

Étape 6.5.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Étape 6.5.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

Étape 6.5.2.2.3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cos (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3 \cdot 1$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 3$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3 π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - 3 \\ 3 π & 0 \\ \frac{15 π}{4} & 3 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $3 π$

Déphasage : $\frac{3 π}{4}$ ( $\frac{3 π}{4}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{3 π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - 3 \\ 3 π & 0 \\ \frac{15 π}{4} & 3 \end{array}$

Étape 8