Trigonométrie Exemples

$y = 2 \sin (\frac{1}{2} x + 1)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - 1$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $2$

Étape 3

Déterminez la période de $2 \sin (\frac{x}{2} + 1)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 3.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- 1 \cdot 2$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Déphasage : $- 2$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $2$

Période : $4 π$

Déphasage : $- 2$ ( $2$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - 2$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 2 \sin (\frac{- 2}{2} + 1)$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f (- 2) = 2 \sin (- 1 + 1)$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 2) = 2 \sin (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 0$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = π - 2$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $π - 2$ dans l’expression.

$f (π - 2) = 2 \sin (\frac{π - 2}{2} + 1)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (π - 2) = 2 \sin (\frac{π - 2}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (π - 2) = 2 \sin (\frac{π - 2 + 2}{2})$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (π - 2) = 2 \sin (\frac{π + 0}{2})$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (π - 2) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (π - 2) = 2 \cdot 1$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (π - 2) = 2$

Étape 6.2.2.5

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 2 π - 2$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π - 2$ dans l’expression.

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 π - 2}{2} + 1)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun à $2 π - 2$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (π) - 2}{2} + 1)$

Étape 6.3.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (π) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Étape 6.3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (π) + 2 (- 1)$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (π - 1)}{2} + 1)$

Étape 6.3.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (π - 1)}{2 (1)} + 1)$

Étape 6.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (π - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Étape 6.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 π - 2) = 2 \sin (\frac{π - 1}{1} + 1)$

Étape 6.3.2.1.4.4

Divisez $π - 1$ par $1$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (π - 1 + 1)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.3.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (π + 0)$

Étape 6.3.2.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (2 π - 2) = 2 \sin (π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (2 π - 2) = 2 \sin (0)$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (2 π - 2) = 2 \cdot 0$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (2 π - 2) = 0$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = 3 π - 2$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π - 2$ dans l’expression.

$f (3 π - 2) = 2 \sin (\frac{3 π - 2}{2} + 1)$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (3 π - 2) = 2 \sin (\frac{3 π - 2}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 6.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3 π - 2) = 2 \sin (\frac{3 π - 2 + 2}{2})$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (3 π - 2) = 2 \sin (\frac{3 π + 0}{2})$

Étape 6.4.2.2.2

Additionnez $3 π$ et $0$ .

$f (3 π - 2) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (3 π - 2) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6.4.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (3 π - 2) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.4.2.5

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π - 2) = 2 \cdot - 1$

Étape 6.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (3 π - 2) = - 2$

Étape 6.4.2.6

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 4 π - 2$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4 π - 2$ dans l’expression.

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{4 π - 2}{2} + 1)$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun à $4 π - 2$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (2 π) - 2}{2} + 1)$

Étape 6.5.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (2 π) + 2 \cdot - 1}{2} + 1)$

Étape 6.5.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 π) + 2 (- 1)$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (2 π - 1)}{2} + 1)$

Étape 6.5.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (2 π - 1)}{2 (1)} + 1)$

Étape 6.5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 (2 π - 1)}{2 \cdot 1} + 1)$

Étape 6.5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 π - 2) = 2 \sin (\frac{2 π - 1}{1} + 1)$

Étape 6.5.2.1.4.4

Divisez $2 π - 1$ par $1$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (2 π - 1 + 1)$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.5.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (2 π + 0)$

Étape 6.5.2.2.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (2 π)$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (4 π - 2) = 2 \sin (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (4 π - 2) = 2 \cdot 0$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (4 π - 2) = 0$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 0 \\ π - 2 & 2 \\ 2 π - 2 & 0 \\ 3 π - 2 & - 2 \\ 4 π - 2 & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $2$

Période : $4 π$

Déphasage : $- 2$ ( $2$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 0 \\ π - 2 & 2 \\ 2 π - 2 & 0 \\ 3 π - 2 & - 2 \\ 4 π - 2 & 0 \end{array}$

Étape 8