Trigonométrie Exemples

$y = - 2 + \frac{2}{3} \cdot \tan (\frac{3}{4} x - π)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \tan (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = - 2 + \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3}$ . Définissez l’intérieur de la fonction tangente, $b x + c$ , pour $y = a \tan (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = - 2 + \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3}$ .

$\frac{3 x}{4} - π = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} + π$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π + π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} π$

Étape 1.2.3.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction tangente $\frac{3 x}{4} - π$ égal à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} - π = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + π$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 1.4.1.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Étape 1.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} (3 π)$

Étape 1.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{2}{3} (3 (π))$

Étape 1.4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{3} (3 π)$

Étape 1.4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π$

Étape 1.5

La période de base pour $y = - 2 + \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3}$ se produit sur $(\frac{2 π}{3}, 2 π)$ , où $\frac{2 π}{3}$ et $2 π$ sont des asymptotes verticales.

$(\frac{2 π}{3}, 2 π)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent.

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Étape 1.6.1

$\frac{3}{4}$ est d’environ $0.75$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \frac{4}{3}$

Étape 1.6.3

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 1.6.4

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = - 2 + \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3}$ se produisent sur $\frac{2 π}{3}$ , $2 π$ et chaque $x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , où $n$ est un entier.

$x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$

Étape 1.8

La tangente n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ où $n$ est un entier

Étape 2

Réécrivez l’expression comme $\frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3} - 2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3} - 2$

Étape 3

Utilisez la forme $a \tan (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{2}{3}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = π$

$d = - 2$

Étape 4

Comme le graphe de la fonction $t a n$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 5

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{π}{| b |}$ .

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Étape 5.1

Déterminez la période de $\frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} - π)}{3}$ .

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Étape 5.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Étape 5.1.3

$\frac{3}{4}$ est d’environ $0.75$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Étape 5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \frac{4}{3}$

Étape 5.1.5

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 5.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 5.2

Déterminez la période de $- 2$ .

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Étape 5.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Étape 5.2.3

$\frac{3}{4}$ est d’environ $0.75$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \frac{4}{3}$

Étape 5.2.5

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 5.2.6

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 5.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$\frac{4 π}{3}$

Étape 6

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 6.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $π (\frac{4}{3})$

Étape 6.4

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

Déphasage : $\frac{π \cdot 4}{3}$

Étape 6.5

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

Déphasage : $\frac{4 π}{3}$

Étape 7

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $\frac{4 π}{3}$

Déphasage : $\frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ à droite)

Décalage vertical : $- 2$

Étape 8

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $\frac{4 π}{3}$

Déphasage : $\frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ à droite)

Décalage vertical : $- 2$

Étape 9