Trigonométrie Exemples

$y = 2 - 3 \cos (2 x - π)$

Étape 1

Réécrivez l’expression comme $- 3 \cos (2 x - π) + 2$ .

$- 3 \cos (2 x - π) + 2$

Étape 2

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 3$

$b = 2$

$c = π$

$d = 2$

Étape 3

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 4

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 4.1

Déterminez la période de $- 3 \cos (2 x - π)$ .

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Étape 4.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.1.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.1.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Déterminez la période de $2$ .

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Étape 4.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{π}{2}$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à droite)

Décalage vertical : $2$

Étape 7

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 7.1

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 7.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 7.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 \cos (π - π)$

Étape 7.1.2.1.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 \cos (0)$

Étape 7.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3 \cdot 1$

Étape 7.1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 3$

Étape 7.1.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Étape 7.1.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 7.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{3 π}{4}) - π)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π)$

Étape 7.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π)$

Étape 7.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π}{2} - π)$

Étape 7.2.2.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.2.2.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Étape 7.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Étape 7.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Étape 7.2.2.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 7.2.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 - 3 \cdot 0$

Étape 7.2.2.1.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 + 0$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Étape 7.2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.3

Déterminez le point sur $x = π$ .

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Étape 7.3.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = 2 - 3 \cos (2 (π) - π)$

Étape 7.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (π) = 2 - 3 \cos (π)$

Étape 7.3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (π) = 2 - 3 (- \cos (0))$

Étape 7.3.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = 2 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 7.3.2.1.4

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 7.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 2 - 3 \cdot - 1$

Étape 7.3.2.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (π) = 2 + 3$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (π) = 5$

Étape 7.3.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 7.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 7.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{4}) - π)$

Étape 7.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π)$

Étape 7.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π)$

Étape 7.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{5 π}{2} - π)$

Étape 7.4.2.1.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.4.2.1.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Étape 7.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Étape 7.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Étape 7.4.2.1.5.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.4.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 7.4.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 - 3 \cdot 0$

Étape 7.4.2.1.8

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 + 0$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2$

Étape 7.4.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.5

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π)$

Étape 7.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π)$

Étape 7.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cos (3 π - π)$

Étape 7.5.2.1.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cos (2 π)$

Étape 7.5.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cos (0)$

Étape 7.5.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3 \cdot 1$

Étape 7.5.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 - 3$

Étape 7.5.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Étape 7.5.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 7.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & - 1 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \\ π & 5 \\ \frac{5 π}{4} & 2 \\ \frac{3 π}{2} & - 1 \end{array}$

Étape 8

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à droite)

Décalage vertical : $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & - 1 \\ \frac{3 π}{4} & 2 \\ π & 5 \\ \frac{5 π}{4} & 2 \\ \frac{3 π}{2} & - 1 \end{array}$

Étape 9