Trigonométrie Exemples

$y = - \frac{1}{2} \cdot \sin (4 (x + \frac{π}{4})) + 1$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = - π$

$d = 1$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $- \frac{\sin (4 x + π)}{2}$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 3.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$\frac{π}{2}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- π}{4}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{π}{4}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{π}{2}$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : $1$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (- \frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.1.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.1.2.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (- π + π)}{2} + 1$

Étape 6.1.2.1.1.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.1.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 0 + 1$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0 + 1$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{8}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (- \frac{π}{8}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{8}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4 (2)}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{- π}{4 \cdot 2}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π}{2} + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.5.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{1}{2} + 1$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 6.2.2.2.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{\sin (4 (0) + π)}{2} + 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.1.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = - \frac{\sin (0 + π)}{2} + 1$

Étape 6.3.2.1.1.2

Additionnez $0$ et $π$ .

$f (0) = - \frac{\sin (π)}{2} + 1$

Étape 6.3.2.1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (0) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.3.2.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = - \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = - 0 + 1$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{8}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{8}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4 (2)}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + π)}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = - \frac{- 1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 1 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.4.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{1 + 2}{2}$

Étape 6.4.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{3}{2}$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (4 (\frac{π}{4}) + π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (π + π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.1.1.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (2 π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.1.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 0 + 1$

Étape 6.5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0 + 1$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{8} & \frac{3}{2} \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{π}{2}$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 1 \\ - \frac{π}{8} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \\ \frac{π}{8} & \frac{3}{2} \\ \frac{π}{4} & 1 \end{array}$

Étape 8