Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- \frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.1.3

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.1.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.1.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{6}$

Étape 1.2.1.6.3

Soustrayez $2 π$ de $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{6}$

Étape 1.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{6}$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Étape 1.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Étape 1.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (- \frac{5 π}{6})$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{5 π}{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 π}{6}$ dans le numérateur.

$x = 2 \frac{- 5 π}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (3)}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5 π}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 π}{3}$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $\frac{x}{2} + \frac{π}{3}$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.4.1.3

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.1.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Étape 1.4.1.6.3

Soustrayez $2 π$ de $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6}$

Étape 1.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 1.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 1.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (3)}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7 π}{3}$

Étape 1.5

La période de base pour $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ se produit sur $(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$ , où $- \frac{5 π}{3}$ et $\frac{7 π}{3}$ sont des asymptotes verticales.

$(- \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3})$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 1.6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ se produisent sur $- \frac{5 π}{3}$ , $\frac{7 π}{3}$ et chaque $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Étape 1.8

La sécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \sec (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $s e c$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période de $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 4.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{3}}{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{3} \cdot 2$

Étape 5.4

Multipliez $- \frac{π}{3} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

Déphasage : $- 2 \frac{π}{3}$

Étape 5.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{π}{3}$ .

Déphasage : $\frac{- 2 π}{3}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{2 π}{3}$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $4 π$

Déphasage : $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5 π}{3} + 2 π n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $4 π$

Déphasage : $- \frac{2 π}{3}$ ( $\frac{2 π}{3}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 8