Trigonométrie Exemples

$y = - 6 \sin (- 4 x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 6$

$b = - 4$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $6$

Étape 3

Déterminez la période de $- 6 \sin (- 4 x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $- 4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| - 4 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 4$ et $0$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{2}}{- 4}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 4}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{π}{2} \cdot (- \frac{1}{4})$

Étape 4.5

Multipliez $- \frac{π}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

Déphasage : $1 (\frac{π}{2}) \cdot \frac{1}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

Déphasage : $\frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 4.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

Déphasage : $\frac{π}{8}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $6$

Période : $\frac{π}{2}$

Déphasage : $\frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{8}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (- 4 \frac{π}{8} + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (4 (- 1) (\frac{π}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (- 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{π}{2}$ comme $- \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- π + π}{2})$

Étape 6.1.2.2.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (\frac{0}{2})$

Étape 6.1.2.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \sin (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 6 \cdot 0$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (\frac{π}{8}) = 0$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (- 4 \frac{π}{4} + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (4 (- 1) (\frac{π}{4}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{π}{4}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (- 1 π + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (- π + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (- π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.3.1

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2 + π}{2})$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π + π}{2})$

Étape 6.2.2.4.2

Additionnez $- 2 π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (\frac{- π}{2})$

Étape 6.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.2.2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{4}) = - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6.2.2.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.2.9

Multipliez $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 6 \cdot - 1$

Étape 6.2.2.9.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 6$

Étape 6.2.2.10

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{8}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (- 4 \frac{3 π}{8} + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (4 (- 1) (\frac{3 π}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (- 1 \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{3 π}{2}$ comme $- \frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π + π}{2})$

Étape 6.3.2.2.2

Additionnez $- 3 π$ et $π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{2})$

Étape 6.3.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2})$

Étape 6.3.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 (1)})$

Étape 6.3.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 \cdot 1})$

Étape 6.3.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- π}{1})$

Étape 6.3.2.2.3.2.4

Divisez $- π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (- π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \sin (0)$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 6 \cdot 0$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 0$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 4 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (2 (- 2) (\frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (2 \cdot (- 2 \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 2 π + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.3.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2 + π}{2})$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π + π}{2})$

Étape 6.4.2.4.2

Additionnez $- 4 π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2})$

Étape 6.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \cdot 1$

Étape 6.4.2.8

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6$

Étape 6.4.2.9

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (- 4 \frac{5 π}{8} + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (4 (- 1) (\frac{5 π}{8}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{5 π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (4 \cdot (- 1 \frac{5 π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (- 1 \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.1.2

Réécrivez $- 1 \frac{5 π}{2}$ comme $- \frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (- \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- 5 π + π}{2})$

Étape 6.5.2.2.2

Additionnez $- 5 π$ et $π$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π}{2})$

Étape 6.5.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 π$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2})$

Étape 6.5.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 (1)})$

Étape 6.5.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{1})$

Étape 6.5.2.2.3.2.4

Divisez $- 2 π$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (- 2 π)$

Étape 6.5.2.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \sin (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - 6 \cdot 0$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = 0$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 6 \\ \frac{3 π}{8} & 0 \\ \frac{π}{2} & - 6 \\ \frac{5 π}{8} & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $6$

Période : $\frac{π}{2}$

Déphasage : $\frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 6 \\ \frac{3 π}{8} & 0 \\ \frac{π}{2} & - 6 \\ \frac{5 π}{8} & 0 \end{array}$

Étape 8