Trigonométrie Exemples

$\sin (2 θ)$

Étape 1

Une bonne méthode pour développer $\sin (2 θ)$ consiste à utiliser le théorème de De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quand $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Étape 2

Développez le côté droit de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ à l’aide du théorème du binôme.

Développer : ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

Étape 3

Réécrivez ${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ comme $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Développez $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 5.1.1.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5.1.1.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

Étape 5.1.3

Multipliez $i \sin (θ) (i \sin (θ))$ .

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Étape 5.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 5.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 5.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

Étape 5.1.3.5

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Étape 5.1.3.6

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Étape 5.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Étape 5.1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

Étape 5.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

Étape 5.1.5

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (θ)$ comme $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $i \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Étape 5.3

Additionnez $i \cos (θ) \sin (θ)$ et $i \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

Étape 6

Déplacez $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

Étape 8.2

Remettez dans l’ordre $2 i$ et $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

Étape 8.3

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

Étape 8.4

Remettez dans l’ordre $\cos (θ)$ et $\sin (θ) \cdot 2$ .

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

Étape 8.5

Remettez dans l’ordre $\sin (θ)$ et $2$ .

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

Étape 8.6

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

Étape 9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ .

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

Étape 10

Retirez les expressions avec la partie imaginaire, qui sont égales à $\sin (2 θ)$ . Retirez le nombre imaginaire $i$ .

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$