Trigonométrie Exemples

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x + 16 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 y^{2} - 24 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 12}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $576$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36$

Étape 1.3

Remplacez $4 y^{2} - 24 y$ par $4 {(y - 3)}^{2} - 36$ dans l’équation $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - 36 - x^{2} - 4 x = - 16$

Étape 1.4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$4 {(y - 3)}^{2} - x^{2} - 4 x = - 16 + 36$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Étape 1.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$d = - - 2$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 2)}^{2} + 4$

Étape 1.6

Remplacez $- x^{2} - 4 x$ par $- {(x + 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $4 y^{2} - x^{2} - 24 y - 4 x = - 16$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} + 4 = - 16 + 36$

Étape 1.7

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = - 16 + 36 - 4$

Étape 1.8

Simplifiez $- 16 + 36 - 4$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 16$ et $36$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 20 - 4$

Étape 1.8.2

Soustrayez $4$ de $20$ .

$4 {(y - 3)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 16$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $16$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = 3$

$h = - 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 2, 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$\sqrt{20}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 5)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 2, 5), (- 2, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\sqrt{5}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 9.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 9.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x}{2} + 1 + 3$

Étape 11.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 4$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - (- 2)) + 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x + 2) + 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 12.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 2 + 3$

Étape 12.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x}{2} - 1 + 3$

Étape 12.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{x}{2} + 4, y = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 2, 3)$

Sommets : $(- 2, 5), (- 2, 1)$

Foyers : $(- 2, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 2, 3 - 2 \sqrt{5})$

Excentricité : $\sqrt{5}$

Paramètre focal : $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{x}{2} + 4$ , $y = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 15