Trigonométrie Exemples

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y - 29 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $29$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x^{2} - 16 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Étape 1.3

Remplacez $4 x^{2} - 16 x$ par $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} + 54 y = 29$

Étape 1.4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 54 y = 29 + 16$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} + 54 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = 54$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (- 9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{27}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $- 9$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$d = \frac{9 (3)}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $54$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $2916$ par $- 36$ .

$e = 0 - - 81$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 81$ .

$e = 0 + 81$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $81$ .

$e = 81$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ .

$- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$

Étape 1.6

Remplacez $- 9 y^{2} + 54 y$ par $- 9 {(y - 3)}^{2} + 81$ dans l’équation $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x + 54 y = 29$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} + 81 = 29 + 16$

Étape 1.7

Déplacez $81$ du côté droit de l’équation en ajoutant $81$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 29 + 16 - 81$

Étape 1.8

Simplifiez $29 + 16 - 81$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $29$ et $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = 45 - 81$

Étape 1.8.2

Soustrayez $81$ de $45$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 3)}^{2} = - 36$

Étape 1.9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Étape 1.10

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Étape 5.3.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$\sqrt{13}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 5)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(2, 5), (2, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 3 + \sqrt{13})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 3 - \sqrt{13})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Étape 8.3.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{9}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} + 3$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} + 3$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3$

Étape 11.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 9}{3}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) + 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 + 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) + 3$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} + 3$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 + 9}{3}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $4$ et $9$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}, y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, 3)$

Sommets : $(2, 5), (2, 1)$

Foyers : $(2, 3 + \sqrt{13}), (2, 3 - \sqrt{13})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Paramètre focal : $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Asymptotes : $y = \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} + \frac{13}{3}$

Étape 15