Trigonométrie Exemples

$y^{2} - 4 y - x + 3 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 y - x + 3 = - y^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x + 3 = - y^{2} + 4 y$

Étape 1.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - y^{2} + 4 y - 3$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - y^{2} + 4 y - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$x = y^{2} + \frac{4 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (4 y)$ comme $- (4 y)$ .

$x = y^{2} - (4 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.1.6

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = y^{2} - 4 y + 3$

Étape 3

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 3.1.1

Complétez le carré pour $y^{2} - 4 y + 3$ .

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 3$

Étape 3.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 3.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 3.1.1.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 3.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 3.1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.1.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Étape 3.1.1.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Étape 3.1.1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 3 - 4$

Étape 3.1.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$e = - 1$

Étape 3.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 2)}^{2} - 1$ .

${(y - 2)}^{2} - 1$

Étape 3.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y - 2)}^{2} - 1$

Étape 3.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = 2$

Étape 3.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 3.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Étape 3.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 3.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 3.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 3.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 3.6

Déterminez le foyer.

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Étape 3.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 3.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{3}{4}, 2)$

Étape 3.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 2$

Étape 3.8

Déterminez la directrice.

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Étape 3.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 3.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 3.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- \frac{3}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{5}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- \frac{3}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{5}{4}$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 3)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (0) = 2 + \sqrt{1}$

Étape 4.1.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = 2 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (0) = 3$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 4.1.3

Convertissez $3$ en décimale.

$= 3$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(0, 1)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (- (0) - 1)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 (0 - 1)}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (0) = 2 - \sqrt{1}$

Étape 4.2.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = 2 - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = 2 - 1$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (0) = 1$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 4.2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$= 1$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 3.41421356)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Étape 4.3.2.1.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Étape 4.3.3

Convertissez $2 + \sqrt{2}$ en décimale.

$= 3.41421356$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (- x - 1)}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 0.58578643)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- (1) - 1)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 (- 1 - 1)}$

Étape 4.4.2.1.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Étape 4.4.3

Convertissez $2 - \sqrt{2}$ en décimale.

$= 0.58578643$

Étape 4.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Étape 5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- \frac{3}{4}, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \end{array}$

Étape 6