Trigonométrie Exemples

${(y - 3)}^{2} = 8 (x + 2)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $8 (x + 2) = {(y - 3)}^{2}$ .

$8 (x + 2) = {(y - 3)}^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $8 (x + 2) = {(y - 3)}^{2}$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $8 (x + 2) = {(y - 3)}^{2}$ par $8$ .

$\frac{8 (x + 2)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (x + 2)}{8} = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$x + 2 = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8}$

Étape 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(y - 3)}^{2}}{8} - 2$

Étape 4

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 3)}^{2} - 2$

Étape 4.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 2$

$k = 3$

Étape 4.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 2, 3)$

Étape 4.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Étape 4.5.3

Simplifiez

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Étape 4.5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Étape 4.5.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 4.5.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Étape 4.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 4.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 4.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 2$

Étape 4.5.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.6

Déterminez le foyer.

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Étape 4.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 4.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 3)$

Étape 4.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 3$

Étape 4.8

Déterminez la directrice.

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Étape 4.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 4.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 4$

Étape 4.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 3)$

Foyer : $(0, 3)$

Axe de symétrie : $y = 3$

Directrice : $x = - 4$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 3)$

Foyer : $(0, 3)$

Axe de symétrie : $y = 3$

Directrice : $x = - 4$

Étape 5

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 5.1

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 2)} + 3$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 5.82842712)$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 2)} + 3$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2} + 3$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est $2 \sqrt{2} + 3$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 3$

Étape 5.1.3

Convertissez $2 \sqrt{2} + 3$ en décimale.

$= 5.82842712$

Étape 5.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 2)} + 3$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 0.17157287)$ .

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Étape 5.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 2)} + 3$

Étape 5.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 3$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2} + 3$

Étape 5.2.2.2

La réponse finale est $- 2 \sqrt{2} + 3$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 3$

Étape 5.2.3

Convertissez $- 2 \sqrt{2} + 3$ en décimale.

$= 0.17157287$

Étape 5.3

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 2)} + 3$ . Dans ce cas, le point est $(0, 7)$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \sqrt{2 ((0) + 2)} + 3$

Étape 5.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (0) = 2 \sqrt{4} + 3$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (0) = 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

Étape 5.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 2 \cdot 2 + 3$

Étape 5.3.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (0) = 4 + 3$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (0) = 7$

Étape 5.3.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 5.3.3

Convertissez $7$ en décimale.

$= 7$

Étape 5.4

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 2)} + 3$ . Dans ce cas, le point est $(0, - 1)$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 \sqrt{2 ((0) + 2)} + 3$

Étape 5.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 3$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (0) = - 2 \sqrt{4} + 3$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (0) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 3$

Étape 5.4.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = - 2 \cdot 2 + 3$

Étape 5.4.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (0) = - 4 + 3$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$f (0) = - 1$

Étape 5.4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 5.4.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 5.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 5.83 \\ - 1 & 0.17 \\ 0 & 7 \\ 0 & - 1 \end{array}$

Étape 6

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 2, 3)$

Foyer : $(0, 3)$

Axe de symétrie : $y = 3$

Directrice : $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 5.83 \\ - 1 & 0.17 \\ 0 & 7 \\ 0 & - 1 \end{array}$

Étape 7