Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 4 \sqrt{5}$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{16 \cdot 5^{1} - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{16 \cdot 5 - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$\sqrt{80 - {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{80 - 1 \cdot 64}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\sqrt{80 - 64}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $64$ de $80$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 4 \sqrt{5})$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 4 \sqrt{5})$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (4 \sqrt{5}))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 4 \sqrt{5})$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 4)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, 4)$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (4))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - 4)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{1} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $16$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{80 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{80 - 1 \cdot 64}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{80 - 64}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $64$ de $80$ .

$\frac{\sqrt{16}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.8

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 8.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 8.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 8.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 10