Trigonométrie Exemples

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y + 292 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $292$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $9 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 18}{9}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 36$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $1296$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Étape 1.3

Remplacez $9 x^{2} - 36 x$ par $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ dans l’équation $9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 + 16 y^{2} + 160 y = - 292$

Étape 1.4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 y^{2} + 160 y = - 292 + 36$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $16 y^{2} + 160 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = 160$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{160}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $160$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $160$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (16)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot 16}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{80}{16}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $80$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$d = \frac{16 \cdot 5}{16}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 5}{16 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot 5}{16 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$d = 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $160$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $25600$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$e = 0 - 400$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $400$ de $0$ .

$e = - 400$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(y + 5)}^{2} - 400$ .

$16 {(y + 5)}^{2} - 400$

Étape 1.6

Remplacez $16 y^{2} + 160 y$ par $16 {(y + 5)}^{2} - 400$ dans l’équation $9 x^{2} + 16 y^{2} - 36 x + 160 y = - 292$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} - 400 = - 292 + 36$

Étape 1.7

Déplacez $- 400$ du côté droit de l’équation en ajoutant $400$ des deux côtés.

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = - 292 + 36 + 400$

Étape 1.8

Simplifiez $- 292 + 36 + 400$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 292$ et $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = - 256 + 400$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 256$ et $400$ .

$9 {(x - 2)}^{2} + 16 {(y + 5)}^{2} = 144$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $144$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y + 5)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 5$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 5)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt{16 - 9}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $9$ de $16$ .

$\sqrt{7}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2 + 4, - 5)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(6, - 5)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(2 - (4), - 5)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 2, - 5)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2 + \sqrt{7}, - 5)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(2 - (\sqrt{7}), - 5)$

Étape 7.5

Simplifiez

$(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $9$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(2, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(2 + \sqrt{7}, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(2 - \sqrt{7}, - 5)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Étape 10