Trigonométrie Exemples

$f (t) = 40 \cos (80 t + 20)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 40$

$b = 80$

$c = - 20$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $40$

Étape 3

Déterminez la période de $40 \cos (80 x + 20)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $80$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 80 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $80$ est $80$ .

$\frac{2 π}{80}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $80$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{80}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 40}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 40}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{40}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- 20}{80}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $80$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20$ .

Déphasage : $\frac{20 (- 1)}{80}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $20$ à partir de $80$ .

Déphasage : $\frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $\frac{- 1}{4}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{1}{4}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $40$

Période : $\frac{π}{40}$

Déphasage : $- \frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (20 \cdot - 1 + 20)$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (- 20 + 20)$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40 \cdot 1$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $40$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 40$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $40$ .

$40$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{160} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{160} - \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{160}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $80$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Factorisez $80$ à partir de $160$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80 (2)}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80 \cdot 2}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Étape 6.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 20 \cdot - 1 + 20)$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} - 20 + 20)$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2} + 0)$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 0$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $40$ par $0$ .

$f (\frac{π}{160} - \frac{1}{4}) = 0$

Étape 6.2.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{80} - \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{80} - \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $80$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{80}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Étape 6.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 20 \cdot - 1 + 20)$

Étape 6.3.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π - 20 + 20)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π + 0)$

Étape 6.3.2.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $40 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.5.2

Multipliez $40$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{80} - \frac{1}{4}) = - 40$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $- 40$ .

$- 40$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{160}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $80$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.2.1

Factorisez $80$ à partir de $160$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{80 (2)}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{3 π}{80 \cdot 2}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.4.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Étape 6.4.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 20 \cdot - 1 + 20)$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} - 20 + 20)$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2} + 0)$

Étape 6.4.2.2.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 0$

Étape 6.4.2.5

Multipliez $40$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{160} - \frac{1}{4}) = 0$

Étape 6.4.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{40} - \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{40} - \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (80 (\frac{π}{40}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.2.1

Factorisez $40$ à partir de $80$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (40 (2) (\frac{π}{40}) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (40 \cdot (2 (\frac{π}{40})) + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 80 (- \frac{1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 80 (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 4 (20) (\frac{- 1}{4}) + 20)$

Étape 6.5.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 4 \cdot (20 (\frac{- 1}{4})) + 20)$

Étape 6.5.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 20 \cdot - 1 + 20)$

Étape 6.5.2.1.4

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π - 20 + 20)$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π + 0)$

Étape 6.5.2.2.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cos (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40 \cdot 1$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $40$ par $1$ .

$f (\frac{π}{40} - \frac{1}{4}) = 40$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $40$ .

$40$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{4} & 40 \\ \frac{π}{160} - \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{π}{80} - \frac{1}{4} & - 40 \\ \frac{3 π}{160} - \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{π}{40} - \frac{1}{4} & 40 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $40$

Période : $\frac{π}{40}$

Déphasage : $- \frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 8