Trigonométrie Exemples

$f (x) = \log_{3} (3 x)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$3 x = 0$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = 0$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \log_{3} (3 (1))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Étape 2.2.2

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \log_{3} (3 (3))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = \log_{3} (9)$

Étape 3.2.2

La base logarithmique $3$ de $9$ est $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (9) = x$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\log_{3} (9) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 9$

Étape 3.2.2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{2}$

Étape 3.2.2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 3.2.2.5

La variable $x$ est égale à $2$ .

$f (3) = 2$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 3.3

Convertissez $2$ en décimale.

$y = 2$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 9$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = \log_{3} (3 (9))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (9) = \log_{3} (27)$

Étape 4.2.2

La base logarithmique $3$ de $27$ est $3$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (27) = x$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez $\log_{3} (27) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 27$

Étape 4.2.2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{3}$

Étape 4.2.2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 4.2.2.5

La variable $x$ est égale à $3$ .

$f (9) = 3$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 4.3

Convertissez $3$ en décimale.

$y = 3$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 1), (3, 2), (9, 3)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ 9 & 3 \end{array}$

Étape 6