Trigonométrie Exemples

$a = 10$ , $c = 8.5$ , $A = 67$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{8.5} = \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8.5$ .

$8.5 \frac{\sin (C)}{8.5} = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8.5$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8.5 \frac{\sin (C)}{8.5} = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 8.5 \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $8.5 \frac{\sin (67)}{10}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Évaluez $\sin (67)$ .

$\sin (C) = 8.5 (\frac{0.92050485}{10})$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $0.92050485$ par $10$ .

$\sin (C) = 8.5 \cdot 0.09205048$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $8.5$ par $0.09205048$ .

$\sin (C) = 0.78242912$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.78242912)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (0.78242912)$ .

$C = 51.48352506$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 51.48352506$

Étape 3.6

Soustrayez $51.48352506$ de $180$ .

$C = 128.51647493$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $C = 51.48352506$ .

$C = 51.48352506, 128.51647493$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$C = 51.48352506$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$67 + 51.48352506 + B = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 5.1

Additionnez $67$ et $51.48352506$ .

$118.48352506 + B = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $118.48352506$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 118.48352506$

Étape 5.2.2

Soustrayez $118.48352506$ de $180$ .

$B = 61.51647493$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (61.51647493)}{b} = \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (61.51647493)$ .

$\frac{0.87895427}{b} = \frac{\sin (67)}{10}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (67)$ .

$\frac{0.87895427}{b} = \frac{0.92050485}{10}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.92050485$ par $10$ .

$\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$b$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$ par $b$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.87895427}{b} = 0.09205048$ par $b$ .

$\frac{0.87895427}{b} b = 0.09205048 b$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.87895427}{b} b = 0.09205048 b$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.87895427 = 0.09205048 b$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.09205048 b = 0.87895427$ .

$0.09205048 b = 0.87895427$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.09205048 b = 0.87895427$ par $0.09205048$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.09205048 b = 0.87895427$ par $0.09205048$ .

$\frac{0.09205048 b}{0.09205048} = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.09205048$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.09205048 b}{0.09205048} = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0.87895427}{0.09205048}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.87895427$ par $0.09205048$ .

$b = 9.54861102$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 67$

$B = 61.51647493$

$C = 51.48352506$

$a = 10$

$b = 9.54861102$

$c = 8.5$