Trigonométrie Exemples

$a = 10$ , $b = 7$ , $c = 5$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(5)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (7) (5)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 5^{2} - 10^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 10^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.1.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 1 \cdot 100}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 100}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.1.5

Additionnez $49$ et $25$ .

$A = \arccos (\frac{74 - 100}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $100$ de $74$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{2 (7) \cdot 5})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{14 \cdot 5})$

Étape 4.2.2

Multipliez $14$ par $5$ .

$A = \arccos (\frac{- 26}{70})$

Étape 4.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $- 26$ et $70$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$A = \arccos (\frac{2 (- 13)}{70})$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $70$ .

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 35})$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 35})$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{- 13}{35})$

Étape 4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A = \arccos (- \frac{13}{35})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (- \frac{13}{35})$ .

$A = 111.80374798$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(5)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (10) (5)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 5^{2} - 7^{2}}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 7^{2}}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 1 \cdot 49}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 25 - 49}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.1.5

Additionnez $100$ et $25$ .

$B = \arccos (\frac{125 - 49}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $49$ de $125$ .

$B = \arccos (\frac{76}{2 (10) \cdot 5})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$B = \arccos (\frac{76}{20 \cdot 5})$

Étape 8.2.2

Multipliez $20$ par $5$ .

$B = \arccos (\frac{76}{100})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $76$ et $100$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$B = \arccos (\frac{4 (19)}{100})$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 19}{4 \cdot 25})$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 19}{4 \cdot 25})$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{19}{25})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (\frac{19}{25})$ .

$B = 40.53580211$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$111.80374798 + C + 40.53580211 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $111.80374798$ et $40.53580211$ .

$C + 152.3395501 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $152.3395501$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 152.3395501$

Étape 10.2.2

Soustrayez $152.3395501$ de $180$ .

$C = 27.66044989$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 111.80374798$

$B = 40.53580211$

$C = 27.66044989$

$a = 10$

$b = 7$

$c = 5$