Trigonométrie Exemples

$A = 30$ , $a = 6$ , $b = 12$

Étape 1

La loi des sinus produit un résultat d’angle ambigu. Cela signifie qu’il y a $2$ permettant de résoudre correctement l’équation. Pour le premier triangle, utilisez la première valeur d’angle possible.

Résolvez pour le premier triangle.

Étape 2

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez $12 \frac{\sin (30)}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\sin (B) = 6 (2) \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 6 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 1$

Étape 4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (1)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $90$ .

$B = 90$

Étape 4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 90$

Étape 4.6

Soustrayez $90$ de $180$ .

$B = 90$

Étape 4.7

La solution de l’équation est $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Étape 5

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$30 + C + 90 = 180$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Additionnez $30$ et $90$ .

$C + 120 = 180$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $120$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 120$

Étape 6.2.2

Soustrayez $120$ de $180$ .

$C = 60$

Étape 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 9.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Étape 9.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 9.1.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Étape 9.1.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$

Étape 9.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 c, 12$

Étape 9.2.2

Since $2 c, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 12$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Étape 9.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 9.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 9.2.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 9.2.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 9.2.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 9.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 9.2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 9.2.7

Le facteur pour $c^{1}$ est $c$ lui-même.

$c^{1} = c$

$c$ se produit $1$ fois.

Étape 9.2.8

Le plus petit multiple commun de $c^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$c$

Étape 9.2.9

Le plus petit multiple commun pour $2 c, 12$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 c$

Étape 9.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ par $12 c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ par $12 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (12 c) = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 c$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 c$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (c))$

Étape 9.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 9.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = c$

Étape 9.4

Réécrivez l’équation comme $c = 6 \sqrt{3}$ .

$c = 6 \sqrt{3}$

Étape 10

Pour le deuxième triangle, utilisez la deuxième valeur d’angle possible.

Résolvez pour le deuxième triangle.

Étape 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 12

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13

Résolvez l’équation pour $B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1

Simplifiez $12 \frac{\sin (30)}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\sin (B) = 6 (2) \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 6 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 13.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 2 \sin (30)$

Étape 13.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Étape 13.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 2 (\frac{1}{2})$

Étape 13.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 1$

Étape 13.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (1)$

Étape 13.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $90$ .

$B = 90$

Étape 13.5

$B = 180 - 90$

Étape 13.6

Soustrayez $90$ de $180$ .

$B = 90$

Étape 13.7

La solution de l’équation est $B = 90$ .

$B = 90, 90$

Étape 14

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$30 + C + 90 = 180$

Étape 15

Résolvez l’équation pour $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Additionnez $30$ et $90$ .

$C + 120 = 180$

Étape 15.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Soustrayez $120$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 120$

Étape 15.2.2

Soustrayez $120$ de $180$ .

$C = 60$

Étape 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 17

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (60)}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 18

Résolvez l’équation pour $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 18.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 18.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\sin (30)}{6}$

Étape 18.1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Étape 18.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 18.1.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Étape 18.1.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$

Étape 18.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 c, 12$

Étape 18.2.2

Since $2 c, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 12$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Étape 18.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 18.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 18.2.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 18.2.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 18.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 18.2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 18.2.7

Le facteur pour $c^{1}$ est $c$ lui-même.

$c^{1} = c$

$c$ se produit $1$ fois.

Étape 18.2.8

Le plus petit multiple commun de $c^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$c$

Étape 18.2.9

Le plus petit multiple commun pour $2 c, 12$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 c$

Étape 18.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ par $12 c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{3}}{2 c} = \frac{1}{12}$ par $12 c$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 c} (12 c) = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 c$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (c)} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{\sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.3

Associez $6$ et $\frac{\sqrt{3}}{c}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.4

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sqrt{3}}{c} c = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.3.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 c$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (c))$

Étape 18.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 c)$

Étape 18.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \sqrt{3} = c$

Étape 18.4

Réécrivez l’équation comme $c = 6 \sqrt{3}$ .

$c = 6 \sqrt{3}$

Étape 19

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

Combinaison du premier triangle :

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 6$

$b = 12$

$c = 6 \sqrt{3}$

Combinaison du deuxième triangle :

$A = 30$

$B = 90$

$C = 60$

$a = 6$

$b = 12$

$c = 6 \sqrt{3}$