Trigonométrie Exemples

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Étape 4.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 16$ par $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

Étape 4.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6.4

Réécrivez l’expression.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

Étape 4.7.2

Additionnez $64$ et $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

Étape 7.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.5

Associez $4$ et $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 11.34962381$

Étape 7.6

Soustrayez $11.34962381$ de $180$ .

$A = 168.65037618$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 11.34962381$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $11.34962381$ et $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $161.34962381$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 161.34962381$

Étape 9.2.2

Soustrayez $161.34962381$ de $180$ .

$C = 18.65037618$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$