Trigonométrie Exemples

$C = 22.28$ , $a = 25.4$ , $b = 73.8$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(25.4)}^{2} + {(73.8)}^{2} - 2 \cdot 25.4 \cdot 73.8 \cos (22.28)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $25.4$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{645.16 + {(73.8)}^{2} - 2 \cdot 25.4 \cdot (73.8 \cos (22.28))}$

Étape 4.2

Élevez $73.8$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{645.16 + 5446.44 - 2 \cdot 25.4 \cdot (73.8 \cos (22.28))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 25.4 \cdot 73.8$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $25.4$ .

$c = \sqrt{645.16 + 5446.44 - 50.8 \cdot (73.8 \cos (22.28))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 50.8$ par $73.8$ .

$c = \sqrt{645.16 + 5446.44 - 3749.04 \cos (22.28)}$

Étape 4.4

Multipliez $- 3749.04$ par $\cos (22.28)$ .

$c = \sqrt{645.16 + 5446.44 - 3469.14461107}$

Étape 4.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.5.1

Additionnez $645.16$ et $5446.44$ .

$c = \sqrt{6091.6 - 3469.14461107}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $3469.14461107$ de $6091.6$ .

$c = \sqrt{2622.45538892}$

Étape 4.6

Évaluez la racine.

$c = 51.20991494$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{25.4} = \frac{\sin (22.28)}{51.20991494}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25.4$ .

$25.4 \frac{\sin (A)}{25.4} = 25.4 \frac{\sin (22.28)}{51.20991494}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $25.4$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25.4 \frac{\sin (A)}{25.4} = 25.4 \frac{\sin (22.28)}{51.20991494}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 25.4 \frac{\sin (22.28)}{51.20991494}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $25.4 \frac{\sin (22.28)}{51.20991494}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Évaluez $\sin (22.28)$ .

$\sin (A) = 25.4 (\frac{0.37913317}{51.20991494})$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $0.37913317$ par $51.20991494$ .

$\sin (A) = 25.4 \cdot 0.00740351$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $25.4$ par $0.00740351$ .

$\sin (A) = 0.18804918$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (0.18804918)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.18804918)$ .

$A = 10.83895863$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 10.83895863$

Étape 7.6

Soustrayez $10.83895863$ de $180$ .

$A = 169.16104136$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 10.83895863$ .

$A = 10.83895863, 169.16104136$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 10.83895863$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$10.83895863 + 22.28 + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $10.83895863$ et $22.28$ .

$33.11895863 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $33.11895863$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 33.11895863$

Étape 9.2.2

Soustrayez $33.11895863$ de $180$ .

$B = 146.88104136$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 10.83895863$

$B = 146.88104136$

$C = 22.28$

$a = 25.4$

$b = 73.8$

$c = 51.20991494$