Trigonométrie Exemples

$C = 3$ , $a = 16$ , $b = 33$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(16)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 33 \cos (3)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{256 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Étape 4.2

Élevez $33$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 16 \cdot 33$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 32 \cdot (33 \cos (3))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 32$ par $33$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cos (3)}$

Étape 4.4

Évaluez $\cos (3)$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cdot 0.99862953}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1056$ par $0.99862953$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1054.5527887}$

Étape 4.6

Additionnez $256$ et $1089$ .

$c = \sqrt{1345 - 1054.5527887}$

Étape 4.7

Soustrayez $1054.5527887$ de $1345$ .

$c = \sqrt{290.44721129}$

Étape 4.8

Évaluez la racine.

$c = 17.04251188$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{16} = \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $16$ .

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Évaluez $\sin (3)$ .

$\sin (A) = 16 (\frac{0.05233595}{17.04251188})$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $0.05233595$ par $17.04251188$ .

$\sin (A) = 16 \cdot 0.0030709$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $16$ par $0.0030709$ .

$\sin (A) = 0.04913449$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (0.04913449)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.04913449)$ .

$A = 2.81633345$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 2.81633345$

Étape 7.6

Soustrayez $2.81633345$ de $180$ .

$A = 177.18366654$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 2.81633345$ .

$A = 2.81633345, 177.18366654$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 2.81633345$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$2.81633345 + 3 + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $2.81633345$ et $3$ .

$5.81633345 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $5.81633345$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 5.81633345$

Étape 9.2.2

Soustrayez $5.81633345$ de $180$ .

$B = 174.18366654$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 2.81633345$

$B = 174.18366654$

$C = 3$

$a = 16$

$b = 33$

$c = 17.04251188$