Trigonométrie Exemples

$B = 85$ , $C = 15$ , $b = 40$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (15)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sin (45 - 30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.2

Séparez la négation.

$\frac{\sin (45 - (30))}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{c}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 3.1.4

Évaluez $\sin (85)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = \frac{0.99619469}{40}$

Étape 3.1.5

Divisez $0.99619469$ par $40$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 c, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 c$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ par $4 c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} = 0.02490486$ par $4 c$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} (4 c) = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 c$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (c)} c = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 c} c = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{c} c = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.02490486 (4 c)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $4$ par $0.02490486$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.09961946 c$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.09961946$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.09961946 c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.09961946$ .

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.09961946$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.09961946 c}{0.09961946} = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{\sqrt{6}}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Évaluez la racine.

$c = \frac{2.44948974}{0.09961946} + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Divisez $2.44948974$ par $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 + \frac{- \sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$c = 24.58846395 - \frac{\sqrt{2}}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.3.1.4

Évaluez la racine.

$c = 24.58846395 - \frac{1.41421356}{0.09961946}$

Étape 3.4.2.3.1.5

Divisez $1.41421356$ par $0.09961946$ .

$c = 24.58846395 - 1 \cdot 14.19615628$

Étape 3.4.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $14.19615628$ .

$c = 24.58846395 - 14.19615628$

Étape 3.4.2.3.2

Soustrayez $14.19615628$ de $24.58846395$ .

$c = 10.39230767$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 15 + 85 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $15$ et $85$ .

$A + 100 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 100$

Étape 5.2.2

Soustrayez $100$ de $180$ .

$A = 80$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (80)}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (80)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{\sin (85)}{40}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (85)$ .

$\frac{0.98480775}{a} = \frac{0.99619469}{40}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.99619469$ par $40$ .

$\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.98480775}{a} = 0.02490486$ par $a$ .

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.98480775}{a} a = 0.02490486 a$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.98480775 = 0.02490486 a$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.02490486 a = 0.98480775$ .

$0.02490486 a = 0.98480775$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.02490486 a = 0.98480775$ par $0.02490486$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.02490486 a = 0.98480775$ par $0.02490486$ .

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.02490486$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.02490486 a}{0.02490486} = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.98480775}{0.02490486}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.98480775$ par $0.02490486$ .

$a = 39.54278234$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 80$

$B = 85$

$C = 15$

$a = 39.54278234$

$b = 40$

$c = 10.39230767$