Trigonométrie Exemples

$a = 4$ , $b = 10$ , $c = 7$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(4)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 4^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 16}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$A = \arccos (\frac{100 + 49 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.1.5

Additionnez $100$ et $49$ .

$A = \arccos (\frac{149 - 16}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $16$ de $149$ .

$A = \arccos (\frac{133}{2 (10) \cdot 7})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$A = \arccos (\frac{133}{20 \cdot 7})$

Étape 4.2.2

Multipliez $20$ par $7$ .

$A = \arccos (\frac{133}{140})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $133$ et $140$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $7$ à partir de $133$ .

$A = \arccos (\frac{7 (19)}{140})$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $140$ .

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A = \arccos (\frac{7 \cdot 19}{7 \cdot 20})$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A = \arccos (\frac{19}{20})$

Étape 4.4

Évaluez $\arccos (\frac{19}{20})$ .

$A = 18.19487233$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(4)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (4) (7)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 10^{2}}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.1.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$B = \arccos (\frac{16 + 49 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.1.5

Additionnez $16$ et $49$ .

$B = \arccos (\frac{65 - 100}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $100$ de $65$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{2 (4) \cdot 7})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{8 \cdot 7})$

Étape 8.2.2

Multipliez $8$ par $7$ .

$B = \arccos (\frac{- 35}{56})$

Étape 8.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $- 35$ et $56$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 35$ .

$B = \arccos (\frac{7 (- 5)}{56})$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $56$ .

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \arccos (\frac{7 \cdot - 5}{7 \cdot 8})$

Étape 8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \arccos (\frac{- 5}{8})$

Étape 8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = \arccos (- \frac{5}{8})$

Étape 8.4

Évaluez $\arccos (- \frac{5}{8})$ .

$B = 128.68218745$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$18.19487233 + C + 128.68218745 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $18.19487233$ et $128.68218745$ .

$C + 146.87705979 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $146.87705979$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 146.87705979$

Étape 10.2.2

Soustrayez $146.87705979$ de $180$ .

$C = 33.1229402$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 18.19487233$

$B = 128.68218745$

$C = 33.1229402$

$a = 4$

$b = 10$

$c = 7$