Trigonométrie Exemples

$(- 8, \frac{p}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- 8, \frac{p}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- 8, 0)$ et $(- 8, \frac{p}{3})$ .

Opposé : $\frac{p}{3}$

Adjacent : $- 8$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{p}{3}$ .

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{9}}$

Étape 2.4

Pour écrire $64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{64 \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Étape 2.5

Associez $64$ et $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9 + p^{2}}{9}}$

Étape 2.7

Multipliez $64$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{576 + p^{2}}{9}}$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{576 + p^{2}}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $576 + p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{9}}$

Étape 2.8.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.8.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})}$

Étape 2.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \sqrt{576 + p^{2}}$

Étape 2.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{576 + p^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$ .

$\frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.2

Associez.

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{576 + p^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{576 + p^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}$ comme $576 + p^{2}$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{576 + p^{2}}$ comme ${(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{({(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

Étape 4.5.6.5

Simplifiez

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}} \approx \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$