Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Étape 9

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 13

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 14.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14.4

Écrivez $- \sqrt{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14.5

Multipliez $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 14.6

Multipliez $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.5

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 16.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.6

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Étape 16.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Étape 16.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Étape 16.8.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Étape 17

Simplifiez les termes.

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Étape 17.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 17.2

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 17.3

Annulez le facteur commun à $6 - 4 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 17.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 17.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}$

Étape 17.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}$

Étape 17.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Étape 17.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Étape 17.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}$

Étape 17.3.4.4

Divisez $3 - 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$